国内许多工科教材在讲到有关拉普拉斯算子(\(\Delta\))与哈密顿算子(\(\nabla\))的内容时含混不清，忽略了许多重要定义，使得一些进一步的推导难以理解
现记录我发现的两个主要问题，并予以解答，希望可以帮助到学习国内教材时有相似疑惑的同学
1. 拉普拉斯算子作用于矢量
1.1 课本中的定义
课本在介绍拉普拉斯算子时，一般会有如下定义:
设\(\displaystyle f\)为二阶可微的实函数，那么有:
$f = ^2f = f $
紧接着，教材通常还会将其在直角坐标系下展开，也即
$^2f=_{i=1}^n{} $
同时，教科书中常常还会在这里进一步解释它的含义是: 对一实值函数求其梯度的散度
1.2 疑问
但是，在许多进一步的推导中，我们又常常可以看到如下过程，例如在波动方程(亥姆霍兹方程)的推导中有如下内容
\[\nabla^2 \boldsymbol E + \omega ^2\mu\epsilon\boldsymbol E =0\]
其中E为矢量，或者说场量
这就奇了棒棒锤的怪了，说好的求梯度的散度呢？对于矢量我该如何进行计算\(\nabla ^2 \boldsymbol E\)？
1.3 真正的定义
其实，对矢量进行拉普拉斯算子，其定义与标量下并不相同，在Wolfram(https://mathworld.wolfram.com/VectorLaplacian.html)中可以查找到如下定义
Vector Laplacian A vector Laplacian can be defined for a vector \(\mathbf{A}\) by \[ \nabla^{2} \mathbf{A}=\nabla(\nabla \cdot \mathbf{A})-\nabla \times(\nabla \times \mathbf{A}) \] where the notation \(\dot{ }\) is sometimes used to distinguish the vector Laplacian from the scalar Laplacian \(\nabla^{2}\) (Moon and Spencer \(1988, \mathrm{p} .3\) ). In tensor notation, \(\mathbf{A}\) is written \(A_{\mu}\), and the identity becomes
\[ \begin{aligned} \nabla^{2} A_{\mu} &=A_{\mu ; \lambda} ; \lambda \\ &=\left(g^{\lambda x} A_{\mu ; \lambda}\right)_{; \kappa} \\ &=g^{\lambda} \kappa_{; \kappa} A_{\mu ; \lambda}+g^{\lambda x} A_{\mu ; \lambda x} \end{aligned} \] > A tensor Laplacian may be similarly defined. > In cylindrical coordinates, the vector Laplacian is given by
上面的定义式，在国内教材中通常作为一个张量运算的性质给出，但是在国外的许多资料中，则是拉普拉斯算子作用于矢量时的定义
显然，在这样的定义下，对矢量进行拉普拉斯算子运算已经失去了梯度的散度的含义。而之所以这样定义，我的理解是为了方便进一步的数学运算，例如在直角坐标系下将其展开，可以按照简单向量运算进行下去
\[\nabla^2 \boldsymbol T = \nabla^2(T_x,T_y,T_z) = (\nabla^2 T_x)\hat x + (\nabla^2 T_y)\hat y + (\nabla^2 T_z)\hat z\]
上式可以解释为: 直角系下，矢量的拉普拉斯运算相当于对矢量的各个分量分别做拉普拉斯运算，再组成一个矢量
2. 拉普拉斯算子在Hessian矩阵中的含义
2.1 Hessian矩阵的定义
Hessian矩阵通常定义如下: \[ \nabla^2f = \mathbf{H}=\left[\begin{array}{cccc} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1} \partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1} \partial x_{n}} \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2} \partial x_{1}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}^{2}} & \cdots & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2} \partial x_{n}} \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{n} \partial x_{1}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{n} \partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{n}^{2}} \end{array}\right] \]
2.2 疑问
我们知道，如果\(\nabla^2\)作用于标量时，如\(\nabla^2 \phi\)，所得结果也为一标量
\(\nabla^2\)作用于矢量时，如\(\nabla^2 \boldsymbol E\)，所得结果为一向量
那么在Hessian矩阵的定义中，究竟是何种逆天的力量，能够使得拉普拉斯算子作用于在f上时，却得到了一个矩阵?
2.3 符号的混淆
在维基百科中，终于找到了如下解释
Hessian matrix
While \(\nabla^{2}\) usually represents the Laplacian, sometimes \(\nabla^{2}\) also represents the Hessian matrix. The former refers to the inner product of \(\nabla\), while the latter refers to the dyadic product of \(\nabla\) : \[ \nabla^{2}=\nabla \cdot \nabla^{T} \] So whether \(\nabla^{2}\) refers to a Laplacian or a Hessian matrix depends on the context.
原来，在Hessian矩阵的定义中，\(\nabla^2\)符号的含义与拉普拉斯算子有所区别。我们将
\[\nabla=\left[\begin{array}{l} \frac{\partial }{\partial x_{1}} \\ \frac{\partial }{\partial x_{2}} \\ \cdots \\ \frac{\partial }{\partial x_{n}} \\ \end{array}\right]\]
经过简单的矩阵运算\(\nabla^{2}=\nabla \cdot \nabla^{T}\),即可得到Hessian的定义式
* 参考资料
